Next: ...к задачам третьей олимпиады
Up: 7.6. Указания и решения
Previous: ...к задачам первой олимпиады
Contents: Содержание
2.1. Рассмотрим один виток ленты на развертке цилиндра (разрез
по горизонтальной линии). По условию высота , опущенная на
сторону , равна . Угол равен
.
Отсюда равно . Так как высота строки равна ,
то всего на одном витке
букв.
Рис. 15.
Ответ: чтобы прочитать текст, надо разрезать ленту на
участки по
букв и сложить их рядом.
2.2. Согласно условию, исходное сообщение состоит из двух
пятерок цифр:
и
.
Пусть - последние две цифры суммы чисел,
изображенных этими пятерками. Через обозначим последнюю цифру
суммы чисел и . Пусть обозначает цифру переноса (цифру
десятков) суммы . По условию имеем, что
и
.
Пусть - первый член, а - разность
арифметической прогрессии, которую коммерсант использовал при
шифровании. Тогда из условия получаем:
Обозначим символом равенство остатков от деления на 10
чисел и . Тогда записи и
имеют одинаковый смысл. Если и , то
, . Bсегда , так как остаток
от деления единствен.
Из соотношений (4), (5), (9) и (10)
находим соответственно:
Подставляя эти значения в равенства
(11) и (12), получим следующие
равенства:
и
.
Отсюда следует, что
Подставив из (17) и из (18) в (1),
(2),(3), (13), (14), (6), (7),
(8), (15), (16), найдем выражения для цифр исходного
сообщения:
Найденные выражения дают два варианта исходных
сообщений:
4470416411 (при ), 2371640978 (при ). |
2.3. Ответ: - любое, - не должно делиться на 2 и на 5.
Указание. Обозначим через - остаток от деления значения
многочлена на 10. Для однозначного расшифрования необходимо
и достаточно, чтобы разным значениям соответствовали разные
значения . Поэтому , , ...,
принимают все значения от 0 до 9. Найдем эти значения:
где - остаток от деления числа на 10.
Отсюда, пользуясь свойствами остатков, замечаем, что должно
быть нечетным (иначе будут только четные числа) и не
должно делиться на 5 (иначе будут только 0 и 5).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
при любом и при всех ,
удовлетворяющим приведенным условиям, гарантируется
однозначность расшифрования.
2.4. Обозначим через
остаток от деления на
26 суммы чисел, которые
соответствуют первым буквам алфавита
(
)
.
Если среди чисел
есть нуль: ,
то искомой
ключевой комбинацией является цепочка первых букв алфавита.
Если среди чисел
нет нуля, то обязательно найдутся два
одинаковых числа: (считаем, что ). Тогда искомой ключевой
комбинацией является участок алфавита, начинающийся с
-й и заканчивающийся -й буквой.
2.5.
Если две буквы с порядковыми номерами и
зашифрованы в буквы с
порядковыми номерами и
с помощью одной и той же буквы, то остатки от
деления чисел и на 30
равны между собой и совпадают с
порядковым номером шифрующей буквы (порядковым номером буквы удобно
считать число 0). Тогда, с учетом соглашения о порядковом номере буквы ,
справедливо, что равен остатку от деления числа
на 30, а, вместе с
тем, равен остатку от деления числа
на 30. Если каждое из
выражений в скобках заменить соответствующим остатком от деления на 30, то
упомянутая связь не нарушится.
Представим в виде набора порядковых номеров известные шифрованные
сообщения (обозначим их соответственно ш. с. 1 и ш. с. 2) и
слово КОРАБЛИ:
слово |
К |
О |
Р |
А |
Б |
Л |
И |
|
10 |
14 |
16 |
1 |
2 |
11 |
9 |
ш.с.1 |
Ю |
П |
Т |
Ц |
А |
Р |
Г |
Ш |
А |
Л |
Ж |
Ж |
Е |
В |
Ц |
Щ |
Ы |
Р |
В |
У |
У |
|
29 |
15 |
18 |
22 |
1 |
16 |
4 |
24 |
1 |
11 |
7 |
7 |
6 |
3 |
22 |
25 |
27 |
16 |
3 |
19 |
19 |
ш.с.2 |
Ю |
П |
Я |
Т |
Б |
Н |
Щ |
М |
С |
Д |
Т |
Л |
Ж |
Г |
П |
С |
Г |
Х |
С |
Ц |
Ц |
|
29 |
15 |
0 |
18 |
2 |
13 |
25 |
12 |
17 |
5 |
18 |
11 |
7 |
4 |
15 |
17 |
4 |
21 |
17 |
22 |
22 |
Возможны 15 вариантов
(номер варианта обозначим буквой )
расположения слова
КОРАБЛИ
в каждом из двух исходных сообщений (и. с. 1, и. с. 2).
Вначале для каждого из 15 вариантов расположения слова
КОРАБЛИ
в и. с. 1 найдем соответствующий участок и. с. 2.
Имеем:
|
0 |
0 |
12 |
26 |
1 |
27 |
21 |
18 |
16 |
24 |
11 |
4 |
1 |
1 |
23 |
22 |
7 |
5 |
14 |
3 |
3 |
Поэтому для участка и. с. 2 получаем
следующие 15 вариантов:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
10 |
10 |
22 |
6 |
11 |
7 |
1 |
28 |
26 |
4 |
21 |
14 |
11 |
11 |
3 |
|
14 |
26 |
10 |
15 |
11 |
5 |
2 |
0 |
8 |
25 |
18 |
15 |
15 |
7 |
6 |
|
28 |
12 |
17 |
13 |
7 |
4 |
2 |
10 |
27 |
20 |
17 |
17 |
9 |
8 |
23 |
|
27 |
2 |
28 |
22 |
19 |
17 |
25 |
12 |
5 |
2 |
2 |
24 |
23 |
8 |
6 |
|
3 |
29 |
23 |
20 |
18 |
26 |
13 |
6 |
3 |
3 |
25 |
24 |
9 |
7 |
16 |
|
28 |
2 |
29 |
27 |
5 |
22 |
15 |
12 |
12 |
4 |
3 |
18 |
16 |
25 |
14 |
|
0 |
27 |
25 |
3 |
20 |
13 |
10 |
10 |
2 |
1 |
16 |
14 |
23 |
12 |
12 |
Теперь для каждого из 15 вариантов расположения слова
КОРАБЛИ
в и. с. 2 найдем соответствующий участок и. с. 1.
Имеем:
|
0 |
0 |
18 |
4 |
29 |
3 |
9 |
12 |
14 |
6 |
19 |
26 |
29 |
29 |
7 |
8 |
23 |
25 |
16 |
27 |
27 |
Поэтому для участка и. с. 1 получаем
следующие 15 вариантов:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
10 |
10 |
28 |
14 |
9 |
13 |
19 |
22 |
24 |
16 |
29 |
6 |
9 |
9 |
17 |
|
14 |
2 |
18 |
13 |
17 |
23 |
26 |
28 |
20 |
3 |
10 |
13 |
13 |
21 |
22 |
|
4 |
20 |
15 |
19 |
25 |
28 |
0 |
22 |
5 |
12 |
15 |
15 |
23 |
24 |
9 |
|
5 |
0 |
4 |
10 |
13 |
15 |
7 |
20 |
27 |
0 |
0 |
8 |
9 |
24 |
26 |
|
1 |
5 |
11 |
14 |
16 |
8 |
21 |
28 |
1 |
1 |
9 |
10 |
25 |
27 |
18 |
|
14 |
20 |
23 |
25 |
17 |
0 |
7 |
10 |
10 |
18 |
19 |
4 |
6 |
27 |
8 |
|
18 |
21 |
23 |
15 |
28 |
5 |
8 |
8 |
16 |
17 |
2 |
4 |
25 |
6 |
6 |
Заменим порядковые номера
в найденных вариантах участков и. с. 1 и и. с. 2
на буквы русского алфавита. Получаем следующие
таблицы:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
К |
К |
Ц |
Е |
Л |
Ж |
А |
Э |
Ь |
Г |
Х |
О |
Л |
Л |
В |
|
О |
Ь |
К |
П |
Л |
Д |
Б |
Я |
З |
Щ |
Т |
П |
П |
Ж |
Е |
участок |
Э |
М |
С |
Н |
Ж |
Г |
Б |
К |
Ы |
Ф |
С |
С |
И |
З |
Ч |
и.с.2 |
Ы |
Б |
Э |
Ц |
У |
С |
Щ |
М |
Д |
Б |
Б |
Ш |
Ч |
З |
Е |
|
В |
Ю |
Ч |
Ф |
Т |
Ь |
Н |
Е |
В |
В |
Щ |
Ш |
И |
Ж |
Р |
|
Э |
Б |
Ю |
Ы |
Д |
Ц |
П |
М |
М |
Г |
В |
Т |
Р |
Щ |
О |
|
Я |
Ы |
Щ |
В |
Ф |
Н |
К |
К |
Б |
А |
Р |
О |
Ч |
М |
М |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
К |
К |
Э |
О |
И |
Н |
У |
Ц |
Ш |
Р |
Ю |
Е |
И |
И |
С |
|
О |
Б |
Т |
Н |
С |
Ч |
Ь |
Э |
Ф |
В |
К |
Н |
Н |
Х |
Ц |
участок |
Г |
Ф |
П |
У |
Щ |
Э |
Я |
Ц |
Д |
М |
П |
П |
Ч |
Ш |
И |
и.с.1 |
Д |
Я |
Г |
К |
Н |
П |
Ж |
Ф |
Ы |
Я |
Я |
З |
И |
Ш |
Ь |
|
А |
Д |
Л |
О |
Р |
З |
Х |
Э |
А |
А |
И |
К |
Щ |
Ы |
Т |
|
О |
Ф |
Ч |
Щ |
С |
Я |
Ж |
К |
К |
Т |
У |
Г |
Е |
Ы |
З |
|
Т |
Х |
Ч |
П |
Э |
Д |
З |
З |
Р |
С |
Б |
Г |
Щ |
Е |
Е |
Из таблиц видно, что осмысленными являются варианты:
и.с.1 |
= |
К |
О |
Г |
Д |
А |
О |
Т |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
К |
О |
Р |
А |
Б |
Л |
И |
и.с.2 |
= |
К |
О |
Р |
А |
Б |
Л |
И |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
В |
Е |
Ч |
Е |
Р |
О |
М
|
|
Естественно предположить, что в первом исходном сообщении речь
идет об отплытии кораблей. Предположив, что неизвестным
участком первого исходного сообщения является
подходящая по смыслу часть слова
ОТПЛЫВАЮТ, находим неизвестную часть второго исходного
сообщения: слово ОТХОДЯТ.
2.6. Каждую букву шифрованного сообщения расшифруем в трех
вариантах, предполагая последовательно, что соответствующая буква
шифрующей последовательности есть буква А, Б или буква
В:
шифрованное сообщение |
Р |
Б |
Ь |
Н |
П |
Т |
С |
И |
Т |
С |
Р |
Р |
Е |
З |
О |
Х |
вариант А |
П |
А |
Щ |
М |
О |
С |
Р |
З |
С |
Р |
П |
П |
Д |
Ж |
Н |
Ф |
вариант Б |
О |
Я |
Ш |
Л |
Н |
Р |
П |
Ж |
Р |
П |
О |
О |
Г |
Е |
М |
У |
вариант В |
Н |
Ю |
Ч |
К |
М |
П |
О |
Е |
П |
О |
Н |
Н |
В |
Д |
Л |
Т |
Выбирая из каждой колонки полученной таблицы ровно по одной
букве, находим осмысленное сообщение
НАШКОРРЕСПОНДЕНТ, которое и является искомым.
Замечание. Из полученной таблицы можно было
найти такое исходное сообщение как
которое представляется не менее осмысленным, чем приведенное выше. А
если предположить одно искажение в шифрованном сообщении (скажем, в
качестве 11-й буквы была бы принята не буква Р, а буква П), то, наряду с правильным вариантом, можно получить и такой:
Число всех различных вариантов исходных
сообщений без ограничений на осмысленность равно
или
43046721, т.е. более 40 миллионов!
Next: ...к задачам третьей олимпиады
Up: 7.6. Указания и решения
Previous: ...к задачам первой олимпиады
Contents: Содержание