Математик Григорий Перельман удостоен Премии тысячелетия

Выдающийся российский математик Григорий Яковлевич Перельман удостоен Премии тысячелетия за доказательство гипотезы Пуанкаре.

В 2000 году эта топологическая задача была включена Математическим институтом Клэя (США) в список семи проблем, с которыми ученые должны были справиться в новом тысячелетии. Тогда-то и была учреждена упомянутая награда. Гипотеза Пуанкаре — первая из решенных.

«Это великое достижение в истории математики», — подчеркнул Джеймс Карлсон, президент института. Конференция, посвященная вручению премии, пройдет в Институте Анри Пуанкаре (Париж) 8–9 июня.

Сформулированная в 1904 году французским математиком Анри Пуанкаре гипотеза является основополагающей для понимания топологии трехмерных фигур (компактных многообразий). Простейшая из этих фигур — трехмерная сфера. Она находится в четырехмерном пространстве и определяется как множество точек на фиксированном расстоянии от заданной точки, так же как двухмерная сфера (кожура апельсина или поверхность Земли) определяется как совокупность точек в трехмерном пространстве на фиксированном расстоянии от заданной точки (центра).

Поскольку мы не можем напрямую визуализировать объекты в n-мерном пространстве, Пуанкаре задался вопросом, можно ли проверить, что фигура есть трехмерная сфера, путем проведения измерений и других операций внутри фигуры. Иными словами, нужно было доказать, что трехмерную сферу всегда можно распознать, даже если она сильно искажена. Пуанкаре нашел правильный метод проверки (простое подключение), однако никто до Перельмана не смог доказать, что проверка гарантирует действительную принадлежность данной фигуры к трехмерным сферам.

В прошлом веке предпринималось множество попыток доказать или опровергнуть гипотезу Пуанкаре методами топологии. Около 1982 года американский математик Ричард Гамильтон открыл метод под названием «поток Риччи». Он основан на системе дифференциальных уравнений, которые представляют собой аналог уравнения теплопроводности Жозефа Фурье, предложенного за 160 лет до этого. Благодаря уравнению потока Риччи было получено несколько впечатляющих результатов в геометрии, однако попытки применить его к гипотезе Пуанкаре вскоре застопорились из-за появления сингулярностей, понять которые математикам не проще, чем астрономам — черные дыры.

Прорыв Григория Перельмана стал возможен благодаря ряду новых элементов. Он ввел новую для этой задачи величину — энтропию, которая уменьшается по мере увеличения временных промежутков между образованием сингулярностей, сигнализируя об увеличении степени геометрического порядка в основной фигуре. Кроме того, он ввел аналогичную локальную величину — L-функцию, чтобы с помощью теорий Чигера и Александрова определить пределы пространства, изменяющегося в потоке Риччи. Наконец, он смог показать, что промежуток времени между образованием сингулярностей не может становиться меньше, а пространство между сингулярностями, напротив, уменьшается. Когда сингулярности становятся бесконечно близкими в пространственном отношении, метод потока Риччи уже не может быть применен.

«Григорий Перельман развернул свои идеи и методы с большим техническим мастерством и описал полученные результаты с элегантной лаконичностью, — отмечает наградной комитет. — Математика серьезно обогатилась».

Российский ученый изложил свои мысли в 2002–2003 годах в публикациях на сайте ArXiv.org (первая и вторая). Потрясенные коллеги затеяли проверку — и в мае 2006-го в статье на том же ресурсе подтвердили его правоту (материал был опубликован в журнале Geometry and Topology в 2008 году). Уже в июле 2006 года на сайт была выложена книга с развернутым описанием задачи и ее решения (вышла в свет в августе 2007-го).

В 2006 году Григорию Перельману была присуждена Медаль Филдса, однако петербургский гений отказался от нее. Тогда же журнал Science назвал доказательство теоремы Пуанкаре научным прорывом года.

Подготовлено по материалам Математического института Клэя.