2008 г.

Базы данных. Вводный курс

Сергей Кузнецов

Лекция 9. Проектирование реляционных баз данных на основе принципов нормализации: дальнейшая нормализация

9.1. Введение

Функциональные зависимости, о которых мы говорили в предыдущих двух лекциях, и нормальные формы, основанные на учете «аномальных» функциональных зависимостей, являются естественными и легко понимаемыми, поскольку в их основе лежит понятие функционального отображения, интуитивно понятного даже людям, далеким от математики. Конечно, было бы замечательно, если бы ликвидация в ходе нормализации аномальных функциональных зависимостей гарантировала отсутствие аномалий обновления отношений.

К сожалению, эта гарантия в общем случае не обеспечивается. Иногда в переменных отношений требуется поддержка более сложных ограничений целостности, для выражения которых понятие функции оказывается недостаточным. Класс зависимостей, опирающихся на понятие функционала – обобщение понятия функции, обнаружил в 1970-е гг. Рональд Фейджин. Он назвал такие зависимости многозначными, поскольку в них одному значению детерминанта соответствует множество значений зависимого атрибута. Наличие в переменной отношения многозначных зависимостей, не являющихся функциональными зависимостями от возможного ключа, приводит к аномалиям обновления таких отношений. Фейджин показал, что в этом случае возможна декомпозиция данных отношений на две проекции, для которых подобные аномалии обновления не проявляются. Такие проекции находятся в четвертой нормальной форме.

Позже было установлено, что при наличии некоторых естественных ограничений, являющихся обобщением ограничений многозначных зависимостей, и в отношениях, которые находятся в четвертой нормальной форме, проявляются аномалии обновления. Более того, эти аномалии невозможно устранить путем проецирования отношения на две проекции, требуется декомпозиция на три или большее число отношений. Такие ограничения получили название зависимостей проекции/соединения. Отношение, в котором существует нетривиальная зависимость проекции/соединения, может быть декомпозировано на три или большее число проекций, в которых зависимости проекции/соединения следуют из возможного ключа. Такие проекции находятся в пятой нормальной форме, или нормальной форме проекции/соединения. В отношениях, находящихся в пятой нормальной форме, отсутствуют аномалии обновления, которые можно было бы устранить путем декомпозиции, и поэтому при достижении пятой нормальной формы процесс проектирования реляционной базы данных на основе нормализации естественным образом завершается.

9.2. Многозначные зависимости и четвертая нормальная форма

Чтобы перейти к вопросам дальнейшей нормализации, рассмотрим еще одну возможную (четвертую) интерпретацию переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН. Предположим, что каждый служащий может участвовать в нескольких проектах, но в каждом проекте, в котором он участвует, им должны выполняться одни и те же задания. Возможное значение четвертого варианта переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН показано на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Возможное значение переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН (четвертый вариант)

9.2.1. Аномалии обновлений при наличии многозначных зависимостей и возможная декомпозиция

В новом варианте переменной отношения единственным возможным ключом является заголовок отношения {СЛУ_НОМ, ПРО_НОМ, СЛУ_ЗАДАН}. Кортеж {сн, пн, сз} входит в тело отношения в том и только в том случае, когда служащий с номером сн выполняет в проекте пн задание сз. Поскольку для каждого служащего указываются все проекты, в которых он участвует, и все задания, которые он должен выполнять в этих проектах, для каждого допустимого значения переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН должно выполняться следующее ограничение (B_СПЗ обозначает тело отношения):

IF ({сн, пн₁, сз₁}  B_СПЗ AND {сн, пн₂, сз₂}  B_СПЗ)
THEN ({сн, пн₁, сз₂}  B_СПЗ AND {сн, пн₂, сз₁}  B_СПЗ)

Наличие такого ограничения (как мы скоро увидим, это ограничение порождается наличием многозначной зависимости) приводит к тому, что при работе с отношением СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН проявляются аномалии обновления.

Добавление кортежа. Если уже участвующий в проектах служащий присоединяется к новому проекту, то к телу значения переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН требуется добавить столько кортежей, сколько заданий выполняет этот служащий.
Удаление кортежей. Если служащий прекращает участие в проектах, то отсутствует возможность сохранить данные о заданиях, которые он может выполнять.
Модификация кортежей. При изменении одного из заданий служащего необходимо изменить значение атрибута СЛУ_ЗАДАН в стольких кортежах, в скольких проектах участвует служащий.

Трудности, связанные с обновлением переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН, решаются путем его декомпозиции на две переменных отношений: СЛУЖ_ПРО_НОМ {СЛУ_НОМ, ПРО_НОМ} и СЛУЖ_ЗАДАНИЕ {СЛУ_НОМ, СЛУ_ЗАДАН}. Значения этих переменных отношений, соответствующие значению переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН с рис. 9.1, показаны на рис. 9.2.

Легко видеть, что декомпозиция, представленная на рис. 9.2, является декомпозицией без потерь и что эта декомпозиция решает перечисленные выше проблемы с обновлением переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН.

Рис. 9.2. Значения переменных отношений СЛУЖ_ПРО_НОМ и СЛУЖ_ЗАДАНИЕ

Добавление кортежа. Если некоторый уже участвующий в проектах служащий присоединяется к новому проекту, то к телу значения переменной отношения СЛУЖ_ПРО_НОМ требуется добавить один кортеж, соответствующий новому проекту.
Удаление кортежей. Если служащий прекращает участие в проектах, то данные о заданиях, которые он может выполнять, остаются в отношении СЛУЖ_ЗАДАНИЕ.
Модификация кортежей. При изменении одного из заданий служащего необходимо изменить значение атрибута СЛУ_ЗАДАН в одном кортеже отношения СЛУЖ_ЗАДАНИЕ.

9.2.2. Многозначные зависимости. Теорема Фейджина. Четвертая нормальная форма

Заметим, что последний вариант переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН находится в BCNF, поскольку все атрибуты заголовка отношения входят в состав единственно возможного ключа. В этом отношении вообще отсутствуют нетривиальные FD. Поэтому ранее обсуждавшиеся принципы нормализации здесь неприменимы, но, тем не менее, мы получили полезную декомпозицию. Все дело в том, что в случае четвертого варианта отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН мы имеем дело с новым видом зависимости, впервые обнаруженным Роном Фейджином в 1971 г. Фейджин назвал зависимости этого вида многозначными (multi-valued dependency – MVD). Как мы увидим немного позже, MVD является обобщением понятия FD.

В отношении СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН выполняются две MVD: СЛУ_НОМПРО_НОМ и СЛУ_НОМСЛУ_ЗАДАН. Первая MVD означает, что каждому значению атрибута СЛУ_НОМ соответствует определяемое только этим значением множество значений атрибута ПРО_НОМ. Другими словами, в результате вычисления алгебраического выражения

(СЛУЖ_ПРО_НОМ WHERE (СЛУ_НОМ = сн AND СЛУ_ЗАДАН = сз)) PROJECT {ПРО_НОМ}

для фиксированного допустимого значения сн и любого допустимого значения сз мы всегда получим одно и то же множество значений атрибута ПРО_НОМ. Аналогично трактуется вторая MVD.

В переменной отношения R с атрибутами A, B, C (в общем случае, составными) имеется многозначная зависимость B от A (AB) в том и только в том случае, когда множество значений атрибута B, соответствующее паре значений атрибутов A и C, зависит от значения A и не зависит от значения C.

Многозначные зависимости обладают интересным свойством «двойственности», которое демонстрирует следующая лемма.

Лемма Фейджина

В отношении R {A, B, C} выполняется MVD AB в том и только в том случае, когда выполняется MVD AC.

Доказательство достаточности условия леммы. Пусть выполняется MVD AB. Пусть имеется некоторое удовлетворяющее этой зависимости значение r переменной отношения R, a обозначает значение атрибута A в некотором кортеже тела B_r, а {b} – множество значений атрибута B, взятых из всех кортежей B_r, в которых значением атрибута A является a. Предположим, что для этого значения a MVD AC не выполняется. Это означает, что существуют такое допустимое значение c атрибута C и такое значение b{b}, что кортеж {a, b, c}B_r. Но это противоречит наличию MVD AB. Следовательно, если выполняется MVD AB, то выполняется и MVD AC. Аналогично можно доказать необходимость условия леммы.

Таким образом, MVD AB и AC всегда составляют пару. Поэтому обычно их представляют вместе в форме A B | C.

FD является частным случаем MVD, когда множество значений зависимого атрибута обязательно состоит из одного элемента. Таким образом, если выполняется FD AB, то выполняется и MVD AB .³⁹⁾

Мы видим, что отношения СЛУЖ_ПРО_НОМ и СЛУЖ_ЗАДАНИЕ не содержат MVD, отличных от FD, и именно в этом выигрывает декомпозиция из рис. 9.2. Правомочность этой декомпозиции доказывается приведенной ниже теоремой Фейджина, которая является уточнением и обобщением теоремы Хита.

Теорема Фейджина

Пусть имеется переменная отношения R с атрибутами A, B, C (в общем случае, составными). Отношение R декомпозируется без потерь на проекции {A, B} и {A, C} тогда и только тогда, когда для него выполняется MVD A B | C.

Докажем достаточность условия теоремы. Пусть r является некоторым допустимым значением переменной отношений R. Пусть a есть значение атрибута A в некотором кортеже тела B_r, {b} – множество значений атрибута B, взятых из всех кортежей тела B_r, в которых значением атрибута A является a, и {c} – множество значений атрибута C, взятых из всех кортежей тела B_r, в которых значением атрибута A является a. Тогда очевидно, что в тело значения r PROJECT {A, B} будут входить все кортежи вида {a, b_i}, где b_i{b}, и если некоторый кортеж {a, b_j} входит в тело значения отношения r PROJECT {A, B}, то b_j{b}. Аналогичные рассуждения применимы к r PROJECT {A, C}. Очевидно, что из этого следует, что при наличии многозначной зависимости A B | C в переменной отношения R{A, B, C} декомпозиция r на проекции r PROJECT {A, B} и r PROJECT {A, C} является декомпозицией без потерь.

Для доказательства необходимости условия теоремы предположим, что декомпозиция переменной отношения R {A, B, C} на проекции R PROJECT {A, B} и R PROJECT {A, C} является декомпозицией без потерь для любого допустимого значения r переменной отношения R. Мы должны показать, что в теле B_r значения-отношения r поддерживается ограничение

IF ({a, b₁, c₁};  B_r AND {a, b₂, c₂}  B_r)
THEN ({a, b₁, c₂}  B_r AND {a, b₂, c₁}  B_r)

Действительно, пусть в B_r входят кортежи {a, b₁, c₁} и {a, b₂, c₂}. Предположим, что {a, b₁, c₂} B_r OR a, b₂, c₁ B_r. Но в тело значения отношения r PROJECT {A, B} входят кортежи {a, b₁} и {a, b₂}, а в тело значения переменной отношения r PROJECT {A, C} – {a, c₁} и {a, c₂};. Очевидно, что в тело значения естественного соединения r PROJECT {A, B} NATURAL JOIN r PROJECT {A, C} войдут кортежи {a, b₁, c₂} и {a, b₂, c₁}, и наше предположение об отсутствии по крайней мере одного из этих кортежей в B_r противоречит исходному предположению о том, что декомпозиция r на проекции r PROJECT {A, B} и r PROJECT {A, C} является декомпозицией без потерь. Тем самым, теорема Фейджина полностью доказана. Конец доказательства.

Теорема Фейджина обеспечивает основу для декомпозиции отношений, удаляющей «аномальные» многозначные зависимости, с приведением отношений в четвертую нормальную форму.

Переменная отношения r находится в четвертой нормальной форме (4NF) в том и только в том случае, когда она находится в BCNF, и все MVD r являются FD с детерминантами – возможными ключами отношения r.

В сущности, 4NF является BCNF, в которой многозначные зависимости вырождаются в функциональные (позволим себе на один момент отказаться от сокращений). Понятно, что отношение СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН не находится в 4NF, поскольку детерминант MVD СЛУ_НОМПРО_НОМ и СЛУ_НОМСЛУ_ЗАДАН не является возможным ключом, и эти MVD не являются функциональными. С другой стороны, отношения СЛУЖ_ПРО_НОМ и СЛУЖ_ЗАДАНИЕ находятся в BCNF и не содержат MVD, отличных от FD с детерминантом – возможным ключом. Поэтому они находятся в 4NF.

39 Упражнение по ходу лекции. Пусть имеется отношение r с атрибутами A , B , C (в общем случае, составными), в котором существует FD AB . Что в этом случае можно сказать про зависимость атрибутов A и C ?

Назад Содержание Вперёд