Обзор алгоритмов MOLAP. Многопозиционное агрегирование массивов для вычисления кубов

2008 г.

Обзор алгоритмов MOLAP

Вперед: Аппроксимирующие алгоритмы Выше: Синтаксические алгоритмы Назад: Алгоритм Dwarf Содержание

Подразделы

Пример Вычислений

Многопозиционное агрегирование массивов для вычисления кубов

Многопозиционное агрегирование (MultiWay Array Aggregation, далее MultiWay, см. [27]) рассчитывает полный куб, используя в качестве базовой структуры данных многомерный массив. Это типичный MOLAP-подход, в котором применяется прямая адресация ячеек многомерного массива, и для обращения к элементам измерений используются их индексы или позиции в массиве. Поэтому MultiWay не может использовать ни одну из техник, связанных с переупорядочиванием ячеек в зависимости от значений мер. Укрупненно алгоритм выглядит следующим образом:

Разбиение массива на блоки (chunks). Блоками называются подкубы достаточно малого размера, которые можно разместить в оперативной памяти, выделенной для расчета куба. Разбиение на блоки (chunking) — метод разделения n-мерного массива на меньшие n-мерные блоки, каждый из которых хранится в виде объекта на жестком диске. Блоки сжимаются, чтобы избежать хранения пустых ячеек (см. раздел Представление неопределенных данных). К примеру, ссылки вида (СсылкаНаБлок + СмещениеВнутриБлока) могут быть использованы в качестве механизма адресации ячеек, что позволяет сжимать разреженные массивы и осуществлять быстрый поиск ячеек внутри блока. Подобный подход достаточно эффективен при работе с разреженным кубами как в оперативной памяти, так и на диске.
Вычисление агрегатов при обращении к ячейкам куба. Агрегированные показатели в ячейках вычисляются только в момент обращения к этим ячейкам, поэтому важен порядок обхода ячеек куба. Необходимо минимизировать количество обращений к одной и той же ячейке, поскольку это сократит объем необходимой оперативной памяти и места на жестком диске. Сложность заключается в подборе порядка таким образом, чтобы частичные агрегаты вычислялись одновременно для нескольких подкубов.

Поскольку в таком подходе данные для вычисления агрегатов часто пересекаются, он называется многопозиционным. Агрегирование происходит одновременно по многим измерениям для уменьшение расходов на чтение данных в оперативную память.

Рассмотрим конкретный пример вычисления куба этим методом.

Пример Вычислений

Рассмотрим в качестве примера трехмерный массив данных, состоящий из измерений A, B и С. Он разбит на небольшие блоки, помещающиеся в оперативной памяти. Допустим, всего получилось 64 блока. Измерение А разбито на четыре равномерных участка, и . Измерения B и С также разбиты на 4 участка каждое. Блоки 1, 2,..., 64 относятся к подкубам $a_0b_0c_0, a_1b_0c_0,\ldots ,a_3b_3c_3$ соответственно. Предположим, что размерность измерений A, B и С составляет 40, 400 и 4000 соответственно. Тогда размеры массивов для измерений составляют 40, 400 и 4000 соответственно. Размеры участков, на которые разбиты измерения, составляют 10, 100 и 1000. Полная материализация куба предполагает вычисление всех подкубов, составляющих этот куб. В результате полный куб состоит из следующих подкубов:

Базовый подкуб, обозначаемый ABC, из которого напрямую или косвенно создаются все остальные подкубы. Этот куб уже вычислен.
Двухмерные подкубы AB, AC и BC, отвечающие группировкам AB, AC и BC. Эти кубы необходимо вычислить.
Одномерные подкубы A, B и С, отвечающие группировкам A, B и С. Эти кубы необходимо вычислить
Нольмерный подкуб, обозначаемый all, отвечающий за общий итог по всему кубу, и содержащий только одно значение. Этот куб нужно вычислить. Если, к примеру, мерой куба является count, то значение требуется вычислить подсчетом числа всех кортежей в ABC.

Рассмотрим, каким образом используется MultiWay в таком случае. Существует множество вариантов порядка, в котором подкубы копируются в оперативную память для вычислений. Подкубы пронумерованы в порядке, указанном на рис. 2.5. Предположим, мы хотим вычислить блок подкуба BC. Под этот блок выделяется память в специальном участке памяти, выделенном для создания куба. Для вычисления этого блока требуется использовать блоки с 1-го по 4-ый подкуба ABC. Таким образом, ячейки для вычисляются агрегированием по A ( ). После этого память может быть использована для построения следующего блока , который вычисляется агрегированием следующих 4 блоков ABC: с 5-го по 8-ой. Продолжая таким образом, мы можем вычислить весь подкуб BC. Следовательно, в основной памяти достаточно располагать только один блок BC, и эта память используется для вычисления всех блоков подкуба BC.

**Рис. 2.5:** Трехмерный массив для измерений А, В и С, разбитый на 64 блока. Каждый блок можно полностью поместить в оперативную память.

В процессе вычисления подкуба BC мы были вынуждены прочитать все 64 блока. Однако в большинстве случаев существует возможность избежать повторного чтения этих блоков при вычислении прочих подкубов (таких как AC и AB). Для решения этой задачи и используются многопозиционное агрегирование и одновременное вычисление нескольких кубов. К примеру, при сканировании блока 1 ( ) для вычисления двухмерного блока , могут быть вычислены все остальные двухмерные блоки, относящиеся к . Во время пребывания в оперативной памяти вычисляются блоки , и по всем двухмерным подкубам. Таким образом, пока трехмерный блок находится в памяти, MultiWay одновременно агрегирует все соответствующие двухмерные блоки.

Порядок, в котором читаются блоки и вычисляются подкубы, определяет общую эффективность вычислений. Рассмотрим тот же пример с учетом размерностей измерений (40, 400, 4000 для А, В и С соответственно). Тогда наибольшим двухмерным кубом является BC, его размер . Следующий по размеру подкуб AC, его размер . AB — наименьший двухмерный куб размером .

Предположим, что блоки читаются в указанном порядке, от 1 к 64. При таком порядке наибольший двухмерный куб BC полностью вычисляется для каждого кортежа. Т.е. полностью агрегируется на основе участка, содержащего блоки 1-4; полностью вычисляется на основе участка, содержащего блоки 5-8 и так далее. Для сравнения, полное вычисление одного блока второго по размеру двухмерного подкуба АС в том же порядке 1-64 требует просмотра 13 блоков. К примеру, агрегируются после просмотра блоков 1, 5, 9 и 13. Наконец, для вычисление последнего двухмерного подкуба АВ потребуется 49 блоков. полностью вычисляются после просмотра блоков 1, 17, 33 и 49. Таким образом, для вычисления АВ требуется самый длительный просмотр блоков. Чтобы избежать загрузки трехмерного блока в оперативную память несколько раз, требуется оперативнвя память следующего объема:

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} 40 * 400 \mbox{ (для плоскости AB) } + 40 *... ...ек памяти (каждая ячейка памяти хранит набор мер).} \end{array}\end{displaymath}$

Предположим что блоки считываются в порядке 1, 17, 33, 49, 5, 21, 27, 53 и так далее. Тогда сначала вычисляется плоскость AB, затем АС и в конце ВС. Минимальный размер памяти, необходимой для двухмерных блоков, в таком случае составит:

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} 400 * 4000 \mbox{ (полностью плоскость ВС)}... ...0000 + 40000 + 1000 = 1641000 \mbox{ ячеек памяти}. \end{array}\end{displaymath}$

На порядок больше, чем в предыдущем примере.

Аналогично можно вычислить минимальные требования к памяти для вычисления одномерных и нульмерных подкубов. На рисунке 2.6 изображены наиболее и наименее эффективные пути вычисления. Самое эффективный порядок просмотра: 1-64.

Рис. 2.6: Различные пути построения подкубов в MultiWay

В приведенном примере предполагается, что имеется достаточно памяти для однопроходного вычисления куба (вычисления всех подкубов за одно чтение всех блоков). Если памяти недостаточно, то может понадобится несколько чтений трехмерного массива. Но и в таких случаях общий подход выбора оптимального порядка чтения блоков остается неизменным. MultiWay наиболее эффективен, когда размерности измерений относительно небольшие и данные не слишком разрежены. Когда размерность измерений очень велика или данные сильно разрежены, массивы становятся слишком большими для загрузки в оперативную память, и метод теряет эффективность.

Экспериментально показано, что при соответствующем выборе техники обработки разреженных массивов и тщательном упорядочивании подкубов MultiWay намного эффективней традиционных ROLAP-вычислений. В отличие от ROLAP, MultiWay не требует дополнительного места для хранения индексов. Более того, в MultiWay используется прямая адресация в массивах, что намного быстрее чтения по ключу в ROLAP-методах. Для ROLAP-вычислений куба было бы эффективней сначала развернуть куб в памяти в многомерный массив, пересчитать и записать результаты в таблицу. Однако подобный подход эффективен при небольшой размерности кубов, ведь количество подкубов растет экспоненциально при добавлении измерений.

MultiWay неэффективен для вычисления кубов типа айсберг, поскольку невозможно использовать правило Apriori . Вычисления в MultiWay идут "снизу-вверх", поэтому нельзя отбросить ни одну из веток вычислений, т.к. сначала просматриваются детальные ячейки, и даже если они не удовлетворяют заданному условию, возможно, этому условию уже удовлетворяют агрегированные ячейки.

Вперед: Аппроксимирующие алгоритмы Выше: Синтаксические алгоритмы Назад: Алгоритм Dwarf Содержание